INJECTION INTERPLANETAIRE

	CONTENU : Mis à jour novembre 2005, sept 2011, mai 2012 I DONNEES II THEORIE Optimisation Calculs Résultats Heure d'injection II METHODE DE CALCUL DU TIR OPTIMAL Résultat littéraux III SYNTHESE COMPLETE DE L'ETUDE

Note initiale : L'auteur invite le lecteur à vérifier tous les éléments de la théorie qui suit, car les calculs et la méthode ne sont le fruit que de son imagination. L'auteur serait ravi d'avoir confirmation de l'exactitude du point de vue et acceptera toute suggestion de mise au point ou de correction d'erreurs

Pour une mission de libération vers une planète ou une exploration du système solaire étant définie, il existe aujourd'hui de nombreuses façons de lancer une sonde. Celles à venir utiliseront peut-être des parkings intermédiaires autour de la lune ou ailleurs, ou bien des câbles et certainement des tremplins gravitationnels.

Pour ce qui est des missions classiques d'évasion au voisinage de la Terre, dont l'orbite de transfert a été optimisée, la vitesse à l'infini de départ est fixée en norme et en direction ( vecteur vitesse infinie donné), on distingue 2 types de tir :

1 - Par une injection directe, le lanceur donnant en fin de phase propulsée la vitesse d'injection correcte conduisant à la bonne vitesse à l'infini.

2 - En utilisant si possible, une orbite de parking intermédiaire, d'inclinaison i fixée, dont le plan orbital contient la vitesse à l'infini. Ce parking est en général une LEO circulaire basse, mais on a déjà assisté à des missions utilisant par exmple une GTO, comme Giotto vers la comète de Halley.

On "décroche" alors du parking grâce à un incrément de vitesse DV, délivré par un moteur supplémentaire.

Naturellement dans tous les cas, l'optimisation recherche la masse utile maximale injectée, qui correspond assez souvent à un minimum du DV.

Ce cours donne les bases de calcul de l'heure d'injection et du DV nécessaire, pour un départ interplanétaire coplanaire à l'orbite de parking intermédiaire supposée circulaire.

I DONNEES :

Le voyage repose sur les données de base suivantes :

La planète de départ, ce sera la Terre, mais ce peut être une autre planète

La date JJ₀ en jours juliens décimaux nouveaux du départ

La planète d'arrivée, au choix

La date JJ₁ en jours juliens décimaux nouveaux de l'arrivée.

La résolution de ce problème ne concerne pas ce cours. C'est le problème de LAMBERT, consistant à rechercher la trajectoire képlérienne qui joint les deux positions données avec les dates imposées ou un e durée de voyage fixée. Nous supposons résolu ce problème. Des routines ou des unités en Pascal de résolution, sont fournies dans ce cours DEUX_PTS.EXE, BIPOS.TPU ou LAMBERTC.EXE avec source en langage C++.

Le vecteur vitesse à l'infini de départ de la terre est supposé donné connu, sous toutes les formes possibles :

Composantes dans le repère héliocentrique écliptique

Ou composantes dans le repère géocentrique équatorial

Ou repérage en norme, déclinaison et ascension droite dans le géocentrique équatorial associé à J2000.

	Vecteur vitesse à l'infini ou norme de la vitesse
	Déclinaison géocentrique de la vitesse à l'infini de départ
	Ascension droite géocentrique de la vitesse à l'infini de départ

II LA THEORIE :

1°) OPTIMISATION DU CAS COPLANAIRE :

Nous supposons donc que la possibilité d'un départ coplanaire existe, pour lequel hyperbole et parking sont dans le même plan.

Le dessin ci-dessous illustre, dans la sphère d'influence terrestre, certains paramètres définis plus loin et surtout donne la configuration des orbites.

Un moteur délivre DV pour passer de l'orbite circulaire de parking à l'hyperbole. Comme les normes des vitesses sont verrouillées, le module de leur différence est minimal si les vitesses sont colinéaires. Ceci impose donc à l'hyperbole d'être tangente au parking, donc un rayon vecteur de départ normal au vecteur vitesse, ce qui impose un départ au périgée de l'hyperbole.

2°) EXISTENCE DU CAS COPLANAIRE OPTIMAL :

La mission de libération coplanaire au parking, n'est possible que si la direction de la vitesse infinie peut appartenir au plan orbital.

Supposons donc la mission possible, pour un plan orbital d'inclinaison i. Alors si W désigne le vecteur unitaire normal au plan orbital de même sens que le moment cinétique, ce vecteur doit vérifier 2 propriétés:

1 - Il appartient à un cône axé sur la direction nord-sud, et de demi ouverture l'inclinaison i ( voir cône rouge)

2 - Comme la vitesse infinie doit être dans ce plan, W est aussi perpendiculaire à la direction de la vitesse infinie. Donc il est dans un plan orthogonal à cette vitesse ( voir le plan rose )

Géométriquement l'intersection n'est possible que si l'inclinaison i vérifie la double inéquation :

Il y a, sauf cas particulier, 2 solutions W₁ et W₂ qui correspondent à une même forme d'hyperbole, ce que montre la figure qui suit

Mais, une seule hyperbole ( hyperbole1 ) peut convenir, celle minimisant l'incrément de vitesse au départ de l'évasion.

Le choix est alors évident, c'est celui pour lequel W1 = W, parfaitement défini par le parking et le sens du mouvement sur ce parking.

NB : S'il n'y a pas intersection, la mission reste encore adaptable, mais la théorie n'est plus applicable. Il faut alors déterminer le meilleur point de départ qui minimise le DV moteur, sur un départ non coplanaire. Voir plus loin.

3°) LES CALCULS :

Nous devons calculer les paramètres orbitaux de l'hyperbole le jour JJ₀ et en déduire en particulier heure de l'injection sur l'hyperbole.

Une figure est nécessaire ainsi que quelques variables intermédiaires. Le dessin montre l'hyperbole avec le point de départ au périgée P, le nœud ascendant N, l'asymptote et la vitesse à l'infini.

Il y est noté des angles intéressants :

I l'inclinaison orbitale commune au parking et à l'hyperbole

W ascension droite de la ligne des nœuds

w argument nodal du périgée

b demi angle d'ouverture des asymptotes

L'angle que fait la vitesse à l'infini, avec la ligne des nœuds, mesuré entre 0° et 360°, positivement autour de W

Nous introduisons le repère intermédiaire de calcul X_N Y*_N W direct, avec W unitaire du moment cinétique du parking, normal au plan orbital et où X_N Y*_N est le plan orbital

En exprimant le vecteur vitesse à l'infini de deux manières, nous obtenons les relations suivantes, que le lecteur pourra reprendre, la résolution est suffisamment simple, pour qu'on ne la détaille pas.

L'angle

est parfaitement défini de manière unique par :

On déduit :

3°) LES RESULTATS :

a ) PARAMETRES ORBITAUX :

Le calcul donne alors l'unique ascension droite W possible du cas optimal, grâce aux 2 relations :

L'argument nodal du périgée w est donné par les relations suivantes

R est le rayon vecteur de départ connu sur le parking, et pour le calcul du premier angle les deux relations rappelées:

b) RAYON VECTEUR DE DEPART :

Il est donné par :

On pourra aussi utiliser le calcul du rayon vecteur effectué plus loin, ce qui confirmerait les calculs.

c ) HEURE D'INJECTION :

La connaissance de W permet le calcul de l'heure de lancement dans la journée. En effet W est aussi l'ascension droite du nœud ascendant du parking. Il faut donc que le lancement réalise exactement l'ascension droite W . Or nous savons que W est reliée à l'heure du tir.

Etudions le cas d'un tir à partir d'une base dans l'hémisphère nord, avec une inclinaison initiale 0° < i < 90°, sur un parking circulaire avec :

Lancement et décollage du pas de tir à à la date et heure H₀

Injection après un temps de vol de DT_V, donc à H₁ = H₀ + DT_V

Injection à la latitude lo et longitude Lo , hémisphère nord, sous un azimut bo

Le triangle sphérique N S'o A rectangle en A vu du centre O, donne avec les relations de trigonométrie sphérique :

Le lecteur établira sans grande peine :

Cette dernière relation, où lg(t) désigne l'ascension droite du méridien de Greenwich au temps t, permet le calcul de l'heure exacte H₁, permettant d'obtenir W souhaité. Il est ensuite facile de revenir à l'heure de lancement Ho.

De même, le calcul de l'instant de départ du parking ne pose pas beaucoup de problème, une fois w calculé.

NB : On notera donc qu'une seule occurrence par jour est possible, et que naturellement tout décalage d'un jour, va modifier la vitesse de à l'infini nécessaire et donc aussi l'heure du tir. Ce genre de calcul pourrait fort bien donner lieu à un projet de voyage interplanétaire.

b) LES PERTURBATIONS :

Un calcul soigneux de l'heure d'injection, doit tenir compte des perturbations orbitales et surtout celle due à J2 qui perturbe notamment W,puisque rappelons-le la ligne des nœuds dérive dans le plan équatorial, on calculera donc la dérive séculaire en tenant compte de a et i du parking. Voir PERTURBATIONS ORBITALES.

Ce problème serait à envisager si la mise sur le parking avait lieu, ce qui est le cas habituel, avant JJ₀.

4°) CALCUL DUNE INJECTION GENERALE NON OPTIMALE ET NON COPLANAIRE :

Les conditions réelles d'une injection peuvent différer légèrement des conditions nominales, soit:

 Par un écart de temps, sur le parking, par rapport à l'injection optimale coplanaire au périgée, la vitesse d'injection n'est donc plus coplanaire à la vitesse sur le parking et donc inconnue.

 Par un écart en temps sur l'heure d'injection , ce qui modifie W, le tir d'évasion n'est plus alors coplanaire.

 Parce que l'orbite de parking est elliptique.

 Parce que tous les problèmes sont réunis.

Nous supposerons donc que le plan d'évasion est proche du plan du parking, ou encore que la vitesse à l'infini est pratiquement dans le plan du parking et donc que les vecteurs moments cinétiques réduits du parking et de l'hyperbole, indiquant les sens de rotation sont voisins. Nous verrons que ceci a une grande importance pour choisir la bonne solution de tir.

a) Notations :

	Rayon vecteur sur l'orbite de parking et point d'injection de l'évasion hyperbolique. Donnée
	Vecteur unitaire du rayon vecteur de départ.
	Vecteur vitesse à l'infini. Donnée du problème
	Vecteur unitaire de la vitesse à l'infini.
	Vitesse d'injection au départ de l'hyperbole. Les inconnues du problème sont les composantes Vu et Vv
	Module de la vitesse d'injection sur l'hyperbole, résultant de la conservation de l'énergie.
	Vecteur unitaire (défini sauf cas particulier singulier) normal au plan orbital de l'hyperbole, portant le moment cinétique réduit et indiquant le sens du mouvement sur l'hyperbole.
	Vecteur focal P et vecteur excentricité de l'hyperbole
	Vitesse sur l'orbite de parking, supposée képlérienne au départ, mais ce n'est pas nécessaire.
	b demi angle d'ouverture des asymptotes.
	Quantité homogène à une vitesse, intervenant dans la solution.
	Deux constantes valant 1 ou -1, à choisir suivant les cas.

b) Comment calculer V_H :

Le problème se pose à 2 inconnues Vu et Vv, composantes de la vitesse d'injection, sur les unitaires u et v non orthogonaux.

- Nous traduisons d'abord la conservation de l'énergie sur l'hyperbole qui donne ( calculs simples) :

Maintenant nous devons exprimer que le vecteur vitesse à l'infini est bien celui donné et satisfaisant à une manœuvre optimale :

- L'angle du vecteur focal P et de la vitesse à l'infini vaut p-b,conduisant à:

On rappelle l'expression du vecteur excentricité e qui pointe le périgée:

Le calcul non détaillé, à l'aide des vecteurs u et v donne un résultat étonnamment simple :

- On constate donc que nous avons 2 équations et 2 inconnues. Le problème admet géométriquement une seule solution, alors que visiblement, par le calcul il y en a 4.

En effet, d'une part Vu et Vv jouent des rôles symétriques et d'autre part que le changement des inconnues en leur opposé laisse le système invariant. Il faut donc sélectionner la bonne solution.

Remarques : de toute évidence le changement de V_H en -V_H, au même point donne une trajectoire hyperbolique identique, seul le sens de parcours change. Or si mathématiquement rien n'interdit un retournement complet de la direction de navigation, nous savons que physiquement la pénalité de la manœuvre en vitesse sera énorme.

Donc nous écrivons la quasi conservation de la direction des moments cinétiques du parking et de l'hyperbole.

L'inéquation (3) le traduit :

Mais ce n'est pas suffisant, car il faut que la vitesse à l'infini soit sur la bonne asymptote, ce qui s'exprime par exemple par (4) :

A chaque position sur le parking, bien choisie dans une "fenêtre" autour du tir optimal, on trouvera une seule solution, répondant au problème concret.

Le problème se résout donc à l'aide des relations (1) (2) (3) (4).

On peut aussi traduire strictement le parallélisme du moment cinétique de l'hyperbole au périgée et au point courant, par :

c) Les résultats :

Le lecteur résoudra sans trop de problème les équations (1) et (2) pour trouver 4 possibilités.

La traduction de la condition ( 3' ) conduit à un résultat intéressant :

Vu et Vv vérifient (1) et (2), ce qui donne, vous le vérifierez, en définitive, une condition remarquablement simple:

Relation qui élimine les solutions (I) et (III) et ne laisse plus qu'une seule incertitude sur les 2 autres, incertitude introduite par e (donnant 2 choix ) et affectant la valeur de V dans II ou IV..

La valeur de e ci-dessous détermine 2 hyperboles solutions qui conduisent à la même vitesse à l'infini, mais l'une des deux correspond à un retournement du sens du mouvement sur le parking, donc un tir très pénalisant en DV, comme le montre la figure qui suit.

On remarquera que les 2 vitesses sont symétriques par rapport au vecteur Y, unitaire de v-u (Voir plus loin)

Le critère (3) ou (4) résoudra le problème.

NB : On pourra aussi enlever l'ambiguïté en traduisant que l'incrément de vitesse à fournir est minimal. En effet à chaque hyperbole correspond un incrément de vitesse à fournir pour passer du parking à l'hyperbole. C'est peut être le critère le plus sûr.

REMARQUES :

Bien d'autres développements théoriques semblent possibles pour exprimer à l'aide des vecteurs R et vitesse à l'infini, des propriétés de l'orbite d'évasion. Le lecteur curieux pourra s'y atteler, car il semble que des interprétations géométriques soient possibles.

Les relations littérales encadrées ont le mérite de ne pas dépendre d'un quelconque repère.

d) Résultats :

CAS 1 : Une simulation informatique de ces résultats montre notamment :

 Dans le cas coplanaire, avec un parking circulaire à 200 km, une vitesse à l'infini de 3 km/s dans le plan du parking que :

Le tir est correct avec DV = 3928.6 m/s, optimal au périgée de l'hyperbole, seul optimum.

 Qu'un écart de 3 mn environ sur l'instant d'injection, coûte environ 200 m/s.

 Que pour une vitesse à l'infini non coplanaire mais faisant un angle faible avec le plan du parking, le surcoût est de 37 m/s pour 2° et 184 m/s pour 5°.

Ci-dessous en parcourant le parking en entier, le résultat pour un tir coplanaire V infinie=6 km/s

La singularité correspond au point du parking où le rayon vecteur est colinéaire de même sens que la vitesse à l'infini, conduisant à une hyperbole dégénérée en droite.

CAS 2 : Etude analogue avec la vitesse à l'infini inclinée de 2° sur le parking.

Le graphe montre un surcoût de 20 m/s et la présence de 2 singularités qui correspondent aux positions où sur le parking le rayon vecteur est le plus proche de la direction de la vitesse à l'infini

III SYNTHESE COMPLETE :

1°) PREMIERE FORMULATION (Cas général) :

Une étude complémentaire de l'orbite d'évasion a été conduite, permettant de donner 3 vecteurs simples, notés en lettres capitales, associés à l'orbite et ressemblant étrangement aux vecteurs fondamentaux. Le calcul de E simple mais lourd à présenter n'est pas fourni.

Le calcul des paramètres orbitaux ne pose plus aucun problème. On n'oubliera pas cependant que les vecteurs N et K ne sont pas unitaires.

2°) DEUXIEME FORMULATION (Cas général) :

On peut aussi être gêné par la décomposition de la vitesse sur les vecteurs u et v non orthogonaux et encore moins unitaires. Cependant (u+v) et (v-u) sont orthogonaux.

Nous notons : y l'angle arithmétique des vecteurs u et v, X l'unitaire de (u+v) et Y l'unitaire de (v-u), si u et v ne sont pas colinéaires. Une figure éclaire le propos.

Avec :

	Vecteur unitaire
	Vecteur unitaire

Pour construire géométriquement V_H, on place tout d'abord les points K et J extrémités des vecteurs vitesse à l'infini et V. On mène les parallèles aux axes X et Y pour obtenir M extrémité de V_H.

On peut alors résumer le problème de l'injection interplanétaire dans le tableau suivant :

Le test peut aussi être le même que plus haut :

La fin des calculs s'exécute comme précédemment.

3°) POSITION DE DEPART CAS PARTICULIER DU TIR OPTIMAL, PARKING CIRCULAIRE COPLANAIRE :

Achevons ce cas idéal, en déterminant le rayon vecteur du point de départ . Nous savons déjà, que le tir optimal est obtenu au périgée de l'hyperbole, appartenant lui-même au parking circulaire. Les vitesses sur le parking et sur l'hyperbole sont colinéaires et donc normales au rayon vecteur. La figure est donc nécessairement celle ci-dessous.

Nous avons donc la relation a + y = 90°, dans le cas obligatoire e = 1.

Le lecteur établira la décomposition du vecteur R sur les axes t et v, en utilisant l'angle 2y et l'expression des lignes trigonométriques en fonction de tgy.

NB : il est facile de vérifier que la solution confirme une vitesse V_H normale au rayon vecteur R.

Guiziou Robert novembre 2005, sept 2011, mai 2012